位相幾何学では、連続写像を用いて連続的に変形して互いに一致させることができる図形は同相といって、一般に同じものであると考える。結び目理論も位相幾何学の理論であるから、同様な同一視を行うのであるが、しかし如何なる結び目も円周 S1 と同相であるので、同相であるかどうかを見るだけではどんな結び目も区別することはできない。そこで、与えられた結び目が、ある結び目を切ったり貼ったりすることなく連続的に変形していったものと一致するなら、もともと 2 つの結び目は同じであったと考える。これは、結び目のみならずその周辺の空間まで含めて連続的に変形できるかどうかということであって、以下のように定式化される。
三次元球面 S3 の北半球[1]に結び目 K1 、 南半球に結び目 K2 があるとする(共に向き付けられているとする)。K1 の一部と K2 の一部を変形して、両方の結び目が赤道のある一点の十分小さな近傍を通り、かつ赤道と交わらないようにできる。このとき、この近傍の中で結び目の向きにあわせて「紐のつなぎかえ」を行うことで K1 と K2 から一つの結び目ができる。このように、「分離されている二つの結び目から一つの結び目をつくる」操作を結び目の合成といい、できあがった結び目を K1K2 と書く。逆に、合成 K1K2 に対して K1、K2を因子と呼ぶ。合成は「つなぎかえる」点の選び方や、その過程での変形のしかたによらず、結び目そのものに対して決まる。結び目の合成は 連結和、バンド和と呼ばれる操作と同等なものである。
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結び目の合成は二項演算として結合律と可換律をみたし、結び目全体の集合に可換モノイドの構造を与える(単位元は自明な結び目)。
何かの分類をするために、それとは別のものでパラメータ付けしようというのは数学の各分野でよくおこなわれることである。結び目についても、与えられた 2 つの結び目が同値かどうかを判断する "指標" として結び目不変量を考える。
結び目不変量は同値(つまり同じ)結び目には同じ指標が当てられるようにした(対偶を考えれば、与えられた 2 つの結び目が互いに異なる不変量を持つなら同値ではない)もののことである。たとえば、2 つの結び目が同値なら有限回のライデマイスター移動で移りあうので、結び目不変量はライデマイスター移動の各手順で変わることはない。簡単な例としては、絡み数や三彩色可能性などがある。
ただし、逆が成り立つとは限らない。つまり、同じ不変量を持つからといってそれらの結び目が同じかどうかは分からない。この性質を持つ、つまり不変量の値が同じである結び目たちが常に同値となる不変量は全ての結び目を区別することができ、完全な不変量という。